Rechnen mit Übertragungsfunktionen

Wenn man sich übliche komplexe Übertragungsfunktionen wie zum Beispiel die eines Tiefpasses erster Ordnung ansieht, dann findet man den mit der imaginären Einheit j gekennzeichneten Imaginärpart häufig im Nenner:

\(G_{TP} = \frac{1}{1+ j\left(\frac{\omega}{\omega_g}\right)}\)

Darin bezeichnet ω = 2π f die Kreisfrequenz und ωg die Grenzfrequenz des Tiefpasses. Um die Schreibarbeit zu verringern, führen wir Ω ein

\(\Omega = \frac{\omega}{\omega_g}\)

und erhalten damit die Übertragungsfunktion

\(G_{TP} = \frac{1}{1+ j\Omega}\)

Abbildung 1

Abbildung 1 zeigt die Grundschaltung des RC-Tiefpasses.

 

Im rechten Teil der Abbildung ist der Tiefpass als Spannungsteiler gezeichnet. Das Vektor-Diagramm verdeutlicht, wie sich der Betrag der komplexen Impedanz Z als Vektorsumme des realen Beitrags des Widerstands R und der imaginären (und frequenzabhängigen) Reaktanz Xc des Kondensators C zusammensetzt. Dabei ist Xc = 1/ωC. Die Grenzfrequenz ωg entspricht dem Kehrwert der von C und R gebildeten Zeitkonstante TTP:

\(T_{TP} = C \cdot R\) \(\omega_g = \frac{1}{T_{TP}} = \frac{1}{C \cdot R} \Rightarrow f_g = \frac{1}{2 \pi \cdot C \cdot R}\)

Die Phase φ entspricht dem von R und Z eingeschlossenen Winkel.

\(\tan \varphi = \frac{X_C}{R} \Rightarrow \varphi = \arctan \left( \frac{X_C}{R} \right)\)

Bei der Grenzfrequenz fg sind der kapazitive Blindwiderstand Xc und R gerade gleich groß. Deshalb findet man für das Verhältnis Uaus/Uein des Spannungsteilers:

\(X_C = R\) \(Z = \sqrt{R^2 + X^2_C}\) \(\frac{U_{aus}}{U_{ein}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + R^2}} =  \frac{R}{\sqrt{2 \cdot R^2}} =  \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,707\)

In der üblichen logarithmischen Schreibweise entspricht das einem Spannungsabfall von

\(20 \cdot \log \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -3 dB\)

Mit der bisher gefundenen Form der Übertragungsfunktion

\(G_{TP} = \frac{1}{1+ j\Omega}\)

kann man noch nicht allzuviel anfangen. Für die weiteren Berechnungen wäre es wünschenswert, Real- und Imaginärteil einzeln ablesen zu können. Dazu muss der Imaginärpart zunächst aus dem Nenner verschwinden, was mit einem Trick geht, der auf der 3. Binomischen Formel beruht:

\((a+b) \cdot (a-b) = a^2 – b^2\)

Wir erweitern den Bruch in unserer Übertragungsfunktion deshalb zunächst mit (1 – jΩ); das ist die komplex konjugierte Größe zu (1 + jΩ):

\(G_{TP} = \frac{1 \cdot (1- j\Omega)}{(1+ j\Omega) \cdot (1- j\Omega)}\)

Daraus ergibt sich ausmultipliziert und durch Binombildung

\(G_{TP} = \frac{1 – j\Omega}{1^2 – j^2\Omega^2}\)

Jetzt kommt die spannende Frage: Was ist j2? Da die imaginäre Einheit j als Wurzel aus -1 definiert ist (die es nicht gibt, deshalb imaginär), ist j2 natürlich gerade -1 und verschwindet praktischerweise aus dem Nenner:

\(G_{TP} = \frac{1 – j\Omega}{1+ \Omega^2}\)

Das kann man auch anders schreiben

\(G_{TP} = \frac{1}{1+ \Omega^2} – j \cdot \frac{\Omega}{1+\Omega^2}\)

und hat damit eine Form, in der Real- und Imaginärteil als Summe nebeneinander stehen. Damit könnte man zum Beispiel den Graphen der Übertragungsfunktion (in Gauss’schen Koordinaten, bei denen die y-Achse der imaginären entspricht) berechnen.

In der Praxis ist man häufig an Betrag (Magnitude) und Phasenwinkel der Übertragungs­funktion interessiert. Dazu müssen die Gauss’schen Koordinaten der komplexen Zahlenebene in Polarkoordinaten umgerechnet werden. Für den Betrag findet man:

\(|G_{TP}| = \sqrt{Re^2 + Im^2}\)

Im Grunde wendet man für diese Umwandlung den Satz des Pythagoras an. Wir setzen unsere Real- und Imaginärteile ein und erhalten:

\(|G_{TP}| = \sqrt{\frac{1^2}{\left(1+ \Omega^2\right)^2} + \frac{\Omega^2}{\left(1+ \Omega^2\right)^2}} = \sqrt{\frac{1 + \Omega^2}{\left(1+ \Omega^2\right) \cdot \left(1+ \Omega^2\right)}}\)

Den Term unter der Wurzel kann man kürzen und erhält vereinfacht für die Magnitude:

\(|G_{TP}| = \sqrt{\frac{1}{1+\Omega^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+\Omega^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{\omega_g}\right)^2}}\)

Den Phasenwinkel einer komplexen Übertragungsfunktion findet man mit dem Arcustangens des Verhältnisses von Imaginär- und Realteil:

\(\varphi_{TP} = \arctan\left(\frac{Im}{Re}\right)\)

Wir setzen Real- und Imaginärteil ein und erhalten:

\(\varphi_{TP} = \arctan\left(\frac{\Omega}{1+\Omega^2}\cdot\frac{1+\Omega^2}{1}\right)\)

Auch das kann man kürzen und die Phase ist

\(\varphi_{TP} = \arctan\left(\Omega\right)\) \(\varphi_{TP} = \arctan\left(\frac{\omega}{\omega_g}\right)\)

In die Formeln für Magnitude und Phase kann man bei Bedarf für ωg die entsprechende Zeitkonstante des RC-Gliedes

\(\omega_g = \frac{1}{C \cdot R}\)

\(|G_{TP}| = \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{\omega_g}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+\left(\omega\cdot C\cdot R\right)^2}}\) \(\varphi_{TP} = \arctan\left(\frac{\omega}{\omega_g}\right) = \arctan\left(\omega\cdot C\cdot R\right)\)

einsetzen und damit zum Beispiel den Frequenzgang errechnen. Das war’s schon! Wir wiederholen die Vorgehensweise noch einmal an einem allgemeinen Fall. Die Beispielfunktion lautet

\(F = \frac{a}{b+jc}\)

Auch hier wollen wir Realteil (zum Beispiel die Impedanz eines komplexen Schaltkreises) und Imaginärteil (Reaktanz) wieder separat auswerten. Um die 3. Binomische Formel anwenden zu können erweitern wir mit (b – jc):

\(F = \frac{a\cdot(b-jc)}{(b+jc)\cdot(b-jc)} = \frac{ab-jac}{b^2-j^2c^2}\)

Da j2 = -1 ist, kann der Nenner umgewandelt werden in

\(F = \frac{ab-jac}{b^2+c^2}\)

Wir schreiben Realteil und Imaginärteil (der mit dem Faktor j) nebeneinader

\(F = \frac{ab}{b^2+c^2}-j\cdot\frac{ac}{b^2+c^2}\)

und haben das gewünschte Ergebnis.