Planeten fallen um die Sonne

Gravitation, Zentripetalkraft und die Sonnenmasse

Newton hat in seinen Principia die Frage geklärt, wie es zu der von Kopernikus, Galilei und Keppler postulierten, beobachteten und vermessenen Planetenbewegung kommt und was die Ursache für diese Bewegungen ist. Will man die Planetenbewegungen korrekt berechnen, dann muss man nach Keplers 1. Gesetz berücksichtigen, dass sich die Planeten auf elliptischen Bahnen um die Sonne bewegen; die Sonne steht in einem der beiden Brennpunkte dieser Ellipse. Allerdings weicht bei fünf der zu Keplers und Newtons Zeit bekannten sechs Planeten die Bahn nur sehr gering von einer Kreisbahn ab, so dass wir hier zunächst von Kreisbahnen ausgehen (Die Exzentrizität  der Erdbahn beträgt lediglich 0,0167). Auch Newton hat diese Vereinfachung vorgenommen. Nach dem gleichen Muster lassen sich die Bahnen anderen Planeten, des Mondes oder von Satelliten um die Erde berechnen.

Planeten bewegen sich auf ihrer Bahn mit einer bestimmten Geschwindigkeit. Im Fall einer strengen Kreisbewegung ist diese Geschwindigkeit wegen der Reibungsfreiheit im Weltall konstant (jedenfalls über sehr lange Zeiträume). Bei elliptischen Bahnen ändert sich die Geschwindigkeit periodisch (je näher der Planet der Sonne kommt, umso höher muss seine Geschwindigkeit werden, damit sie die höhere Anziehungskraft der Gravitation ausgleichen kann). Wir gehen für das vereinfachte Kreisbahn-Modell von der Durchschnitts­geschwindig­keit aus. Die Geschwindigkeit eines Körpers auf einer Kreisbahn ist

\( \vec{v} = \frac{2 \pi}{T} \)

Mit T bezeichnen wir die Umlaufzeit des Planeten; im Fall der Erde ist T bekanntlich ein Jahr bzw. 365,25 Tage. Wir haben hier die Winkelgeschwindigkeit verwendet, die in Radiant (abgekürzt rad) angegeben wird. In der Zeit T werden  rad umrundet; das ist ein voller Kreis. Natürlich kann man die Geschwindigkeit auch „wie üblich“ angeben. Dazu benötigen wir die Länge der Kreisbahn mit dem Radius r, also ihren Umfang U. Dieser Umfang wird in der Periodendauer T umrundet. Das ergibt die Geschwindigkeit

\( \vec{v} = \frac{U}{T} = \frac{2 \pi \cdot r}{T} \)

Der Radius der Erdbahn beträgt im Mittel rund 149,6 Millionen Kilometer. Damit bewegt sich die Erde auf ihrem Weg um die Sonne mit der Bahngeschwindigkeit

\( \vec{v}_E = \frac{2 \pi \cdot R_E}{T} = \frac{2\pi \cdot 149,6 \cdot 10^6}{365,25 \cdot 24} \cdot \frac{km}{h} = 107228\frac{km}{h} \)

Das ist schon mal gar nicht so langsam. Was bedeutet der kleine Pfeil über dem Geschwindigkeits­symbol ? Dieser Pfeil markiert, dass die Geschwindigkeit ein Vektor ist. Vektoren bezeichnen Sachverhalte, die sowohl eine Größe, als auch eine Richtung haben. Eine Kraft ist ein Vektor: es kommt nicht nur darauf an, wie stark man schiebt, sondern auch, wohin. Eine solche gerichtete Größe ist auch die Geschwindigkeit. Sie hat eine Magnitude – das ist ihr Betrag – und eine Phase – die ihre Richtung bezeichnet. Soviel zur Erinnerung an Vektoren.

Die Bezeichnung mit dem Buchstaben v leitet sich vom englischen Wort velocity ab und wird traditionell für (vektorielle) Geschwindigkeiten genommen. Die Engländer haben den Vorteil, dass sie mit dem Begriff speed auch gleich einen passenden Begriff für den (skalaren) Betrag dieser Geschwindigkeit haben. Der Begriff Schnelle hat sich im Deutschen für die Magnitude der Geschwindigkeit nicht so richtig durchgesetzt (anders als bei der Ausbreitung von Wellen). Trotzdem wollen wir hier von der Schnelle reden, wenn wir den Betrag bzw. die Magnitude  des Geschwindigkeitsvektors meinen.

Diese zwei Aspekte der Geschwindigkeit haben Konsequenzen! Wir können nicht nur die Schnelle einer Geschwindigkeit ändern, sondern unabhängig davon auch ihre Richtung. Anders herum: wir können die Geschwindigkeit einer Bewegung ändern, ohne dass sich zugleich ihre Schnelle ändert. Unveränderte Geschwindigkeit heißt, dass sich ein Körper zugleich a) geradlinig (d.h. ohne Richtungsänderung) und b) mit konstanter Schnelle durch den Raum bewegt.

Das ist bei der von uns betrachteten Planetenbewegung nun gerade nicht der Fall. Zwar bewegt sich der Planet (auf seiner gedachten Kreisbahn) mit konstanter Schnelle von rund 107000 Kilometer pro Stunde. Aber eben nicht geradlinig! Er ändert vielmehr ständig seine Richtung und fliegt eine ewige Kurve, um auf seiner Kreisbahn zu bleiben.

Nun ist eine Änderung der Geschwindigkeit per Definition eine Beschleunigung. Jede Änderung. Also auch eine Änderung, bei der die Schnelle konstant bleibt und sich lediglich die Richtung ändert. Demnach erfährt unser Planet eine ständige Beschleunigung, ohne schneller zu werden. Diese Erkenntnis ist im umgangssprachlichen Begriff Geschwindigkeit so nicht angelegt und deshalb ist das eine ganz wichtige Unterscheidung!

Eine Beschleunigung setzt aber in jedem Fall eine Kraft als Verursacher voraus. Es gilt Newtons 2. Axiom F = m • a und damit

\( a = \frac{F}{m} \)

Der Buchstabe  leitet sich vom englischen Begriff acceleration ab. Der guten Ordnung halber: F steht für force = Kraft und m für mass = Masse. Die Beschleunigung eines Körpers ist also proportional zur aufgewandten Kraft und umgekehrt proportional zur „geschobenen“ Masse.

Auch die Kraft ist eine vektorielle Größe mit Magnitude und Richtung. In unserem Fall der Planetenbewegung kennen wir diese Richtung schon: der Planet wird beständig in Richtung des Zentrums seiner Kreisbahn gezogen. Der Kraftvektor zeigt also in Richtung des Radius.  Können wir auch die Größe der Kraft ermitteln, mit der unser Planet nach innen gezogen wird?

Auf dem folgenden Bild xxx ist die Kreisbahn unseres Planeten (oder eines beliebigen Körpers) eingezeichnet. Die Kreisbahn hat den Radius r = RE. Momentan befindet sich der Planet an der Stelle P1 und er hat an dieser Stelle die Geschwindigkeit (wohlgemerkt: nicht nur Schnelle) v1 , die als Vektor eingezeichnet ist.

Wie man sieht, stellt der Geschwindigkeitsvektor v1 eine geradlinige Bewegung dar. Würde die – bisher geheimnisvolle – Kraft, die den Körper auf seine Kreisbahn „zieht“ bzw. beschleunigt, plötzlich weggenommen, dann würde der Körper genau dieser Richtung folgen. Das kann man im Prinzip beobachten, wenn man sich bei Leichtathletikwettbewerben die Hammerwerfer (und Hammerwerferinnen) ansieht, oder wenn man (höchst vorsichtig) Experimente mit einer Steinschleuder macht: sobald Hammer oder Stein losgelassen werden, folgen sie einer geradlinige Bewegung – und nicht etwa einer Spirale oder fortgesetzten Kreisbewegung.

Zurück zu unserem Planeten: Nach einer bestimmten Zeit hat er sich auf seiner Kreisbahn bis zum Punkt P2 weiter bewegt. Er hat sich dabei auf einem Abschnitt  der Kreisbahn bewegt. Wie man erkennt, ist dieser Weg etwas länger als die direkte Verbindung der beiden Punkte P1 und P2. Wir bezeichnen diese direkte Verbindung als P1P2; geometrisch ist das eine Sekante.

Im Punkt P2 hat unser Körper die Geschwindigkeit v2 , die wiederum als Vektor eingezeichnet ist. Die Magnitude (Länge) dieses Vektors entspricht der des Vektors v1. Allerdings hat sich die Richtung geändert.

Wenn wir wissen wollen, um welchen (vektoriellen) Wert sich die Geschwindigkeit unseres Planeten zwischen den Punkten P1 und P2 ändert, dann müssen wir die Differenz der beiden Geschwindigkeitsvektoren bildet. In der Abbildung sind die beiden Vektoren v1 und v2 noch einmal herausgezeichnet. Die Differenz ist als Δv bezeichnet. Den Betrag dieses Vektors suchen wir, denn er ist für die Größe der gesuchten Kraft verantwortlich.

\( \mid\Delta v\mid = \vec{v}_2 – \vec{v}_1 \)

Das geht mit ein wenig schlichter Geometrie. Ausgangspunkt ist die Beobachtung, dass das Dreieck M-P1-P2 und das von unseren drei Geschwindigkeitsvektoren gebildete Dreieck ähnlich sind, denn und stehen jeweils senkrecht auf M-P1 bzw. M-P2. Damit ist auch der von  und eingeschlossene Winkel gleich dem Winkel  zwischen den beiden Radien. Wenn man das kleine Dreieck deshalb wie in Bild xxx gezeigt dreht und in das große Dreieck verschiebt, dann kann man den Zweiten Strahlensatz anwenden und schreiben

\( \frac{\overline{P1P2}}{r} = \frac{\Delta v}{v} \)

Das kann man umstellen nach

\( \Delta v = \overline{P1P2} \cdot \frac{v}{r} \)

Leider entspricht der Abstand P1P2 ja keineswegs dem von unserem Planeten tatsächlich zurückgelegten Weg auf seiner Kreisbahn, denn eine Sekante ist kein Kreisbogen. Aber: Wenn wir den Abstand der beiden Punkte immer kleiner werden lassen, so dass er irgendwann infinitesimal klein wird, dann wird auch die Differenz der beiden Wege immer kleiner, bis sie irgendwann selbst unmessbar klein oder infinit ist. Die Differenz zwischen den beiden Strecken geht für einen immer kleineren Winkel α gegen Null. Ein kleinerer Winkel entspricht einer kürzeren Laufzeit Δt .

Für einen infinitesimal kleinen Winkel α dürfen wir demnach an Stelle der Strecke P1P2 den Ausschnitt s aus dem Kreisbogen einsetzen. Die Länge von s erhalten wir, indem wir die Geschwindigkeit v unseres Planeten mit der verstrichenen Zeit Δt multiplizieren.

\( \Delta v = s \cdot \frac{v}{r} = \Delta t \cdot v \cdot \frac{v}{r} \Rightarrow \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v^2}{r} \)

Im infinitesimalen Fall wird die Zeitdifferenz ebenfalls infinitesimal klein und wir gehen über zu:

\( \frac{dv}{dt} = \frac{v^2}{r} \)

Der Differentialquotient dv/dt ist natürlich gerade die Änderung der Geschwindigkeit bzw. die Beschleunigung a. Mit Hilfe von Newtons Formel können wir damit auch die wirkende Kraft bestimmen. Unser Planet hat eine Masse ME, auf die die Kraft

\( F_Z = m \cdot a = M_E \cdot \frac{v^2}{r} \)

wirkt. Weil diese Kraft den Körper zum Zentrum der Kreisbewegung zieht, nennt man sie Zentripetalkraft (vom lateinischen Verb petere = streben).

Woher rührt diese Kraft? Zwischen Sonne und Planet, Erde und Satellit, Planet und Mond gibt es ja kein Seil, an dem Sonne, Erde und Planet „den Hammer kreisen lassen“ könnten. Die Kraft, die für die Zentripetalbeschleunigung sorgt, ist die Gravitation, die zwischen den beteiligten Massen herrscht. Diese Gravitationskraft FG ist bekanntlich zum Produkt der Massen proportional, und zum Quadrat des Abstandes der beiden Massenschwerpunkte umgekehrt proportional, also

\( F_G = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} \)

Der Buchstabe G bezeichnet die Gravitationskonstante 6,674 · 10-11N · m2 · kg-2 . Die beiden Kräfte FG und FZ müssen gleich sein (sonst würde der Planet ja seine Bahn ändern) und wir können schreiben

\( F_G = F_Z \Rightarrow G \cdot \frac{M_E \cdot M_S}{R_E^2} = M_E \cdot \frac{v^2}{R_E} \)

Darin sind die Masse der Erde ME, die Masse der Sonne MS und der Radius der Erdbahn RE eingesetzt. Auch der Betrag der Geschwindigkeit v ist uns bereits bekannt

\( v = \frac{2\pi \cdot r}{T} \Rightarrow v^2 = \frac{4\pi^2 \cdot R_E^2}{T^2}\)

Dies ebenfalls eingesetzt führt zu

\( G \cdot \frac{M_E \cdot M_S}{R_E^2} = M_E \cdot \frac{4\pi^2 \cdot R_E^2}{T^2 \cdot R_E} \)

Nun ist nur noch ein wenig Algebra erforderlich, um die Gleichung nach dem Wert der Sonnenmasse umzustellen

\( M_S = \frac{4\pi^2 \cdot R_E^2 \cdot R_E}{ G \cdot T^2} \)

Bemerkenswert ist, dass sich die Masse unseres Planeten herauskürzt. Die Masse des Zentralgestirns ist von der Masse der Planeten unabhängig – nun gut, das überrascht vielleicht dann doch nicht allzu sehr. Damit der Ausdruck übersichtlicher wird, sortieren wir noch nach Konstanten und Variablen

\( M_S = \frac{4\pi^2}{G} \cdot \frac{ R_E^3 }{ T^2} \)

Der erste der beiden Faktoren besteht nur aus Konstanten und ergibt selbst einen konstanten Wert. Interessant ist, dass auch der zweite Faktor für alle Planeten, die die Sonne umkreisen, stets den gleichen Wert ergibt – was notwendig ist, da die errechnete Masse des Zentralgestirns ja konstant bleiben muss. Genau dies hatte Johannes Kepler gefunden und als sein Drittes Gesetz formuliert: Die dritte Potenz des mittleren Bahnradius aller Planeten ergibt, geteilt durch das Quadrat der jeweiligen Umlaufzeit, einen konstanten Wert.

Wie groß ist nun die Masse unserer Sonne? Den Radius der Erdbahn hatten wir schon verwendet;  beträgt im Mittel 149,6 Millionen Kilometer bzw. 149,6 · 109m . Die Umlaufzeit der Erde entspricht dem Erdenjahr und beträgt T = 365,25 Tage bzw. 365,25 · 24 · 60 · 60 = 31,56 · 106s . Die Gravitationskonstante ist 6,674 · 10-11N · m2 · kg-2. Damit haben wir alle Angaben zusammen:

\( M_S = \frac{4\pi^2}{6,674 \cdot 10^{-11}} \cdot \frac{(149,6 \cdot 10^9)^3}{(31,56 \cdot 10^6)^2} = 1,96 \cdot 10^{30} kg \)

Stimmt das? Wir haben es heute einfach: Ein kurzer Klick zur Wikipedia bestätigt uns, dass die Sonnenmasse dort mit 1,98892 · 1030 angegeben wird. Eingedenk unserer Rundungsfehler liegen wir mit unserer Berechnung ziemlich dicht an der heute bekannten exakten Zahl.