Komplexe Zahlen und Eulersche Identität

Eine komplexe Zahl markiert die Koordinaten eines Punktes in der komplexen Zahlenebene, bei der Polardarstellung und cartesische Darstellung zusammenspielen. Die Magnitude oder der Betrag ist die Länge des Zeigers vom Ursprung zum Punkt, φ ist der Winkel, den dieser Zeiger mit der positiven x-Achse bildet. Mit Hilfe von Sinus und Cosinus können die Polarkoordinaten Länge und Winkel in die x- und y-Achsenabschnitte umgegerechnet werden, so dass sich die cartesischen Koordinaten ergeben. Dabei hat die y-Achse die Einheit i = √(-1). Meist interessieren uns in Akustik und Elektronik die Polarkoordinaten, weil die Zeigerlänge der Magnitude und der Winkel der Phase entsprechen, also auf einfache Weise physikalisch interpretierbar sind.

Häufig sieht man in Darstellungen der Fouriertransformation aber auch die folgende Schreibweise. Dahinter steckt einer der genialsten Tricks der Mathematikgeschichte – die von dem schweizer Mathematiker Leonhard Euler entdeckte Eulersche Identität. Es gilt nämlich

\( \text{e}^{i \cdot z} = \cos(z) + i \cdot \sin(z) \)

Darunter können sich die meisten Menschen (der Autor eingeschlossen) nichts vorstellen und es gibt auch keine anschauliche physikalische oder geometrische Erklärung dafür. Man erkennt aber die Identität, wenn man e-Funktion, Sinus- und Cosinus-Funktion aufdröselt. Alle drei können über sogenannte Taylor-Reihen entwickelt werden.

\(
\begin{eqnarray}
\text{e}^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}+ \dots &=& \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}\\
\cos(x) = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \frac{x^6}{6!} \pm \dots &=& \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}\\
\sin(x) = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} \pm \dots &=& \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\\
\end{eqnarray}
\)

Setzt man in die Taylorreihe der ex-Funktion für die Variable x den Wert (i·z) ein, dann ergibt sich folgendes:

\( \text{e}^{i \cdot z} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i \cdot z)^k}{k!} =  \frac{i^0 \cdot z^0}{0!} + \frac{i^1 \cdot z^1}{1!} + \frac{i^2 \cdot z^2}{2!} + \frac{i^3 \cdot z^3}{3!} + \frac{i^4 \cdot z^4}{4!} + \frac{i^5 \cdot z^5}{5!} + \frac{i^6 \cdot z^6}{6!} + \frac{i^7 \cdot z^7}{7!} + \dots \)

Das kann man natürlich auch so schreiben:

\(  \text{e}^{i \cdot z} = 1 + i \cdot z + i^2 \frac{z^2}{2!} + i^3 \frac{z^3}{3!} + i^4 \frac{z^4}{4!}+ i^5 \frac{z^5}{5!}+ i^6 \frac{z^6}{6!}+ i^7 \frac{z^7}{7!} \dots \)

Dabei ist berücksichtigt, dass 0! = 1 ist. Was bedeuten i2 und die anderen Potenzen von i?

\(
\begin{eqnarray}
i &=& \sqrt{-1} \\
i^2 &=& \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} &=& -1\\
i^3 &=& i^2 \cdot i = -1 \cdot i &=& -i \\
i^4 &=& i^3 \cdot i = -i \cdot i = – \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} &=& +1 \\
i^5 &=& i^4 \cdot i = +1 \cdot i &=& i \\
i^6 &=& i^5 \cdot i = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} &=& -1 \\
i^7 &=& i^6 \cdot i = -1 \cdot i &=& -i \\
&\dots& \text{usw.}
\end{eqnarray}
\)

Setzt man das in die Taylor-Reihe von eiz ein, dann ergibt sich

\(  \text{e}^{i \cdot z} = 1 + i \cdot z – 1 \frac{z^2}{2!} – i \frac{z^3}{3!} + 1 \frac{z^4}{4!}+ i \frac{z^5}{5!} – 1 \frac{z^6}{6!} – i \frac{z^7}{7!} \pm \dots \)

Das kann man nun natürlich noch nach solchen Reihengliedern sortieren, in denen der Faktor i vorkommt, und solchen, in denen kein i mehr vorkommt:

\(  \text{e}^{i \cdot z} = 1 – \frac{z^2}{2!}  + \frac{z^4}{4!} – \frac{z^6}{6!} + \dots + i \cdot z – i \frac{z^3}{3!} + i \frac{z^5}{5!} – i \frac{z^7}{7!} \pm \dots \)

Jetzt klammern wir im hinteren Teil der Reihe noch i aus

\(  \text{e}^{i \cdot z} = \underbrace{1 – \frac{z^2}{2!}  + \frac{z^4}{4!} – \frac{z^6}{6!} \pm \dots}_{\cos(z)} + i \cdot \left( \underbrace{ z – \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} – \frac{z^7}{7!} \pm \dots}_{\sin(z)} \right) \)

… und stellen durch Vergleich mit den oben gezeigten Taylor-Reihen von Cosinus und Sinus fest, dass wir auch schreiben können:

\( \text{e}^{i \cdot z} = \cos(z) + i \cdot \sin(z) \)

Man weiß nicht, was es bedeutet, aber es ist tatsächlich eine identische Schreibweise: jede Komplexzahl kann auch in der Form eix angegeben werden. Über die Eulersche Identität kann man Real- und Imaginärteil der Zahl rasch errechnen oder die Zahl als Magnitude und Phasenwinkel angeben. Genialer Bursche, dieser Leonhard Euler!