Das Wiensche Verschiebungsgesetz

Das Wiensche Verschiebungsgesetz gibt an, bei welcher Frequenz oder Wellenlänge die Planck’sche Strahlungsfunktion ihr Maximum hat, bei welcher Frequenz also die höchste Strahlungsleistung erbracht wird. Das Gesetz lautet:

\(\lambda_{max} = \frac{h \cdot c}{4,965 \cdot k \cdot T}\)

Darin bezeichnen

\(\lambda_{max}\)die Wellenlänge, bei der die maximale Strahlung auftritt
\(h\)die Planck’sche Wirkungskonstante = 6,6ž 10-34 Jžs
\(c\)die Lichtgeschwindigkeit = 299,8ž 106 m/s
\(k\)die Boltzmann-Konstante = 1,38ž 10-23 J/K
\(T\)die absolute Temperatur des Strahlers in Kelvin

Wie findet man dieses Maximum? Der Ausgangpunkt ist die von Planck gefundene Funktion für die spektrale Energiedichte eines Strahlers:

\(\rho(\lambda) = \frac{8\pi \cdot h \cdot c}{\lambda^5}\cdot \frac{1}{\text{e}^{\frac{h \cdot c}{k \cdot T \cdot \lambda}}- 1}\)

Die Strahlung ist eine Funktion der Wellenlänge λ. Wie findet man Maximalwerte einer Funktion? Man differenziert und setzt die erste Ableitung gleich Null. Zuerst also differenzieren. Das sieht nicht wirklich einfach aus, aber gemach: integrieren gilt ja als Kunst, differenzieren als gutes Handwerk. Also gehen wir schrittweise vor. Als erstes schreiben wir die Funktion für unsere Zwecke ein wenig anders auf:

\(\rho'(\lambda) = \left(\frac{8\pi \cdot h \cdot c}{\lambda^5}\cdot \frac{1}{\text{e}^{\frac{h \cdot c}{k \cdot T \cdot \lambda}}- 1}\right) \frac{d}{d\lambda}\)

Der zu differenzierende Ausdruck enthält noch eine Reihe von Konstanten, die wir vor die Klammer ziehen können:

\(\rho'(\lambda) = 8\pi h c \cdot \left[\frac{1}{\lambda^5 \cdot \left(\text{e}^{\frac{h \cdot c}{k \cdot T \cdot \lambda}}- 1\right)}\right] \frac{d}{d\lambda}\)

Jetzt sieht man schon, was auf uns zukommt: Der zu differenzierende Ausdruck ist ein Bruch – also müssen wir die Quotienten-Regel anwenden. Nach dieser Regel ist allgemein

\(f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \Rightarrow f'(x)=\frac{u‘ \cdot v – v‘ \cdot u}{v^2}\)

Die Buchstaben u und v bezeichnen die Funktionen im Zähler und Nenner des Quotienten; u’ und v’ deren Ableitungen. Wir leiten in unserem Fall nicht nach x sondern nach λ ab, aber das macht keinen Unterschied. Leider steht im Nenner unserer Funktion aber ein Produkt, sodass wir zusätzlich noch die Produkt-Regel einsetzen müssten. Das können wir aber vermeiden, weil wir ja auch schreiben dürfen:

\(\rho'(\lambda) = 8\pi h c \cdot \left(\frac{\frac{1}{\lambda^5}}{ \text{e}^{\frac{h \cdot c}{k \cdot T \cdot \lambda}}- 1}\right) \frac{d}{d\lambda}\)

Jetzt haben wir im Zähler die Funktion u(λ), die wir vergleichsweise einfach ableiten können:

\(u(\lambda) = \frac{1}{\lambda^5} \Rightarrow u'(\lambda) = \frac{1}{\lambda^5}\frac{d}{d\lambda} = \lambda^{-5}\frac{d}{d\lambda}=-5 \cdot \lambda^{-6} = -\frac{5}{\lambda^6} \)

Die Funktion v(λ) im Nenner ist nicht ganz so einfach zu differenzieren. Hier müssen wir zunächst die Summen-Regel einsetzen, und erhalten

\(v(\lambda) = \text{e}^{\frac{h \cdot c}{k \cdot T \cdot \lambda}}- 1 \Rightarrow v'(\lambda)
= \left(\text{e}^{\frac{h \cdot c}{k \cdot T \cdot \lambda}}\right)\frac{d}{d\lambda} + (-1)\frac{d}{d\lambda}\)

Um den ersten Summenden kümmern wir uns gleich. Zunächst leiten wir -1 ab, was bekanntlich Null ist. Der zweite Summand fällt also schon mal weg. Nun müssen wir die Kettenregel anwenden, die das Ableiten von Funktionen erlaubt, die sich aus zwei ineinander geschachtelten Funktionen zusammensetzen:

\(f(x) = u(v(x)) \Rightarrow f'(x) = u'(v(x))\cdot v'(x)\)

In Worten: Die Ableitung ist das Produkt der Ableitung der äußeren Funktion u’ mit der Ableitung der inneren Funktion v’. Im vorliegenden Fall sind

\(u(\lambda)=\text{e}^{v(\lambda)} \Rightarrow u'(\lambda)=\text{e}^{v(\lambda)} \) \(v(\lambda)=\frac{hc}{kT} \cdot \frac{1}{\lambda} \Rightarrow v'(\lambda)
= \frac{hc}{kT} \cdot \frac{1}{\lambda}\frac{d}{d\lambda}
= \frac{hc}{kT} \cdot \lambda^{-1} \frac{d}{d\lambda}
= \frac{hc}{kT} \cdot -1 \cdot \lambda^{-2}
= \frac{hc}{kT} \cdot \frac{-1}{\lambda^2} \)

Das setzen wir in die Kettenregel ein und erhalten

\(f'(\lambda) = u'(\lambda)\cdot v'(\lambda)
= \text{e}^{v(\lambda)} \cdot \frac{hc}{kT} \cdot \frac{-1}{\lambda^2}
= \text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}} \cdot \left(- \frac{hc}{kT\lambda^2} \right) \)

Damit haben wir alle Bestandteile beisammen, um die Formel für die Quotientenregel ausfüllen zu können (wobei wir den bereits ausgeklammerten konstanten Faktor natürlich nicht vergessen dürfen):

\( 8\pi hc \cdot \frac{u‘ \cdot v – v‘ \cdot u}{v^2}
= 8\pi hc \cdot \frac{\left(\frac{-5}{\lambda^6}\right) \cdot \left(\text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1 \right) – \left(\text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}} \cdot \frac{-hc}{kT\lambda^2} \right) \cdot \left(\frac{1}{\lambda^5}\right) }{\left(\text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1\right)^2}\)

Das schreiben wir jetzt noch ein wenig gefälliger auf (auf die Vorzeichen achten!),

\(\frac{d\rho}{d\lambda} = 8\pi hc \cdot \left[ \left(- \frac{5}{\lambda^6} \right) \cdot \frac{\text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1}{\left(\text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1\right)^2} – \frac{1}{\lambda^5} \cdot \frac{\text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}}}{\left(\text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1\right)^2} \cdot \left(- \frac{hc}{kT\lambda^2} \right) \right]\)

kürzen nach Bedarf und erhalten damit unsere abgeleitete Funktion, die wir nullsetzen können:

\(\frac{d\rho}{d\lambda} = 8\pi hc \cdot \left[ \frac{5}{\lambda^6}  \cdot \frac{1}{\left(\text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1\right)} – \frac{1}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{\left(\text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1\right)^2} \cdot \text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}} \cdot \frac{hc}{kT\lambda^2} \right] = 0 \qquad \mid \div (-8\pi hc)\)

Das sieht auf den ersten Blick nicht wirklich unkompliziert aus, lässt sich aber vereinfachen. Durch den konstanten Faktor -8πhc können wir teilen und ihn verschwinden lassen. Außerdem verschieben wir ein 1/λ aus dem Faktor ganz rechts zum 1/λ5:

\( \frac{5}{\lambda^6}  \cdot \frac{1}{\left(\text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1\right)} – \frac{1}{\lambda^6} \cdot \frac{1}{\left(\text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1\right)^2} \cdot \text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}} \cdot \frac{hc}{kT\lambda} = 0 \qquad \mid \cdot \lambda^6 \)

In beiden Summanden auf der linken Seite finden wir nun den Faktor 1/λ6, den wir ebenfalls eliminieren können.

\( 5 \cdot \frac{1}{\left(\text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1\right)} – \frac{1}{\left(\text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1\right)^2} \cdot \text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}} \cdot \frac{hc}{kT\lambda} = 0 \qquad \mid \cdot \left(\text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1\right)^2 \)

Außerdem steckt in beiden Summenden der Faktor 1/(ehc/kTλ – 1), den wir beseitigen können, indem wir die komplette Gleichung mit dem Kehrwert im Quadrat multiplizieren. Auf der rechten Seite bleibt dabei immer Null stehen:

\( 5 \cdot \frac{\left(\text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1\right)^2}{\left(\text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1\right)} – \frac{\left(\text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1\right)^2}{\left(\text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1\right)^2} \cdot \text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}} \cdot \frac{hc}{kT\lambda} = 0 \qquad \mid \text{kürzen} \)

Durch kürzen, ausmultiplizieren und ein wenig umsortieren erhalten wir nun

\( 5 \cdot \left(\text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1\right) – \text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}} \cdot \frac{hc}{kT\lambda} = 0 \) \( 5 \cdot \text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}} – 5 – \text{e}^{\frac{hc}{kT\lambda}} \cdot \frac{hc}{kT\lambda} = 0\)

Zur weiteren Vereinfachung fassen wir den komplizierten Exponenten von e zu einer einfachen Konstanten zusammen:

\( \frac{hc}{kT\lambda} = \alpha \Leftrightarrow \lambda = \frac{hc}{\alpha kT} \)

Setzen wir α in unsere Gleichung ein,

\( 5 \cdot \text{e}^\alpha – 5 – \alpha \cdot \text{e}^\alpha = 0 \)

dann sieht die Sache schon erheblich übersichtlicher aus. Man vermutet auch, dass α irgendetwas in der Nähe von 5 sein muss, damit die Gleichung aufgeht. Durch eine numerische Lösung – sprich: durch ausprobieren – findet man, dass die Gleichung erfüllt ist, wenn man α = 4,965 setzt:

\( 5 \cdot \text{e}^{4,965} – 5 – 4,965 \cdot \text{e}^{4,965} = 0 \) \( \text{e}^{4,965} \approx 143,3\) \( 5 \cdot 143,3 – 5 – 4,965 \cdot 143,3 \approx 0 \) \(716,5 – 5 – 711,5 \approx 0\)

Da ja nach unserer Festlegung für α

\(\lambda = \frac{hc}{\alpha kT} \)

ist, erhalten wir als Ergebnis

\( \lambda_{max} = \frac{h \cdot c}{4,965 \cdot k \cdot T} \)

Das ist exakt der Wert, den auch Wien gefunden hat. Fasst man nun noch alle Konstanten zusammen, dann erhält man einen einfachen linearen Zusammenhang zwischen Wellenlänge des Strahlers und seiner Temperatur:

\( \lambda_{max} = \frac{h \cdot c}{4,965 \cdot k \cdot T}
= \frac{6,6 \cdot 10^{-34} \cdot 299,8 \cdot 10^6}{4,965 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot \frac{T}{K}}
= \frac{2898}{\frac{T}{K}} \mu m \)

Dazu ein Beispiel: Nehmen wir an, wir haben einen Strahler mit einer Oberflächen­temperatur von 5500K – zufällig ist das die Temperatur unserer Sonne. Dann wird die maximale Strahlungsleistung bei der Wellenlänge

\( \lambda_{max} = \frac{2898}{5500} = 0,53 \mu m \quad \text{bzw.} \quad 530 nm \)

auftreten. Tatsächlich liegt das sichtbare Spektrum des Sonnenlichts im Bereich zwischen 380 und 780 Nanometer.